Занятие 7. Матрица.

Я сейчас вас удивлю. Матрица - это не боевик. Матрица - это такой математический термин, перешедший в программирование. И вообще, очень полезная и удобная вещь. Если с ней уметь обращаться, конечно.

Немного истории. 

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. 

На заре книгопечатанья, каждая страница будущей книги создавалась так: брали специальный ящик, разделенный на ячейки. В каждую ячейку вкладывали свинцовый кубик с нужной буквой. Потом на полностью набранную таким образом страницу наносили краску, и, с помощью пресса, прижимали к листу бумаги. Таких одинаковых листов бумаги можно было сделать столько, сколько нужно, благодаря странице из свинцовых кубиков. Вот эту, свинцовую страницу, называли "материнская страница", сократив потом до слова "матрица". А потом матрицей стали называть практически все, что было прямоугольным и разделялось на клеточки.

В математике матрицы используют, например, при решении систем уравнений. Но в это искусство вас посвятят на лекциях по высшей математике в ВУЗах. А мы научимся просто работать с матрицами, чтоб потом вы могли написать программку для подсчета чего угодно...

По сути матрица - это НАБОР МАССИВОВ. с массивами мы с вами уже сталкивались, когда задавали строку элементов вида a[1], a[2], a[3],... Теперь мы будем говорить не только о номере элемента в строке, но и о номере строки, в которой этот элемент стоит. Например, элемент, стоящий в 3 строке на 5 месте мы обозначим a[3,5]. Номер строки - на первом месте, номер столбца (положение в строке) на втором. Номера строк в общем виде обозначают обычно буквой i, номера столбцов буквой  j. Тогда элемент стоящий в i -ой строке на j -ом месте обозначим  a[i,j]. Правило обозначения элементов лучше поможет понять такая таблица:

Рассмотрим простую задачу: 

Заполните таблицу 5 на 5 значениями "0" и "1" так, чтоб "1" стояли по всем крайним строкам и столбцам, а в центре были символы "0".

Другими словами. я хочу примерно такую картинку:

Program matr;

Var

a:array[1..5,1..5] of integer; - готовим ячейки памяти для нашей матрицы. По условию - 5*5.

i,j:integer;

begin

For i:=1 to 5 do begin - начинаем считать строки

For j:=1 to 5 do begin- начинаем считать столбцы

If ((i=1) or (j=1) or(i=5) or(j=5)) then - если номер элемента совпадает с номером крайней                                                                           строки или столбца...

a[i,j]:=1 - присвоить этому элементу значение 1

else

a[i,j]:=0; - иначе - присвоить значение 0

write (a[i,j]:2); - печатать элементы в строчку с интервалом 2 между ними

end; - закончили работу в строке, пройдя по всем столбцам

Writeln; - перешли на новую строку

end; - и начали работать со следующей строкой, если следующая строка есть.

end.

Давайте изменим программу так, чтоб "1" стояли на диагоналях матрицы. Для этого нам надо познакомиться еще с двумя понятиями. Вернемся к нашему рисунку:

Уже знакомая вам матрица с обозначением номеров элементов. Красной линией выделена ГЛАВНАЯ диагональ, зеленой линией выделена ПОБОЧНАЯ диагональ матрицы.

Каким свойством обладают номера элементов, попавших на главную диагональ? Это элементы a[1,1], a[2,2], a[3,3]. Если бы матрица была большего размера, то на главной диагонали лежали бы и другие элементы у которых... правильно, коэффициент i=j. 

Давайте выведем формулу, по которой элемент можно отнести к побочной диагонали.

Только не надо мне рассказывать, что i и j изменяются на 1 в разные стороны - один коэффициент увеличивается, другой уменьшается. Как вы это объясните компьютеру? 

  

Надо искать математическую закономерность. Итак: давайте сложим i и j каждого из элементов, попавших на побочную диагональ. Какое число получилось? 4? А матрица у нас какого размера? 3*3. Поскольку у нас матрица квадратная - число строк равно числу столбцов, можем говорить "Квадратная матрица размера 3", или просто "матрица размера 3", подразумевая, что в этом случае она - квадратная.

Как связаны числа 4 и 3? Правильно, 4= 3+1. Теперь смотрим на первый элемент матрицы, попавший на эту диагональ. Какие коэффициенты у этого элемента? О! Так это же наши 3 и 1! Которые 3+1=4!

А если у нас матрица будет размером 7? В верхнем правом углу будет стоять элемент первой строки последнего, седьмого столбца. Тогда формула для побочной строки будет 7+1=8.

А если матрица будет размером 9? 9+1=10.

А если размера n?

Для любой матрицы размера n верны следующие утверждения:

1. Если i=j, то элемент a[i,j] принадлежит ГЛАВНОЙ диагонали.
2. Если i+j=n+1, то элемент a[i,j] принадлежит ПОБОЧНОЙ диагонали.

Ну а теперь, вооруженные знаниями про диагонали матрицы, напишите сами задачу, в результате которой мы увидим на экране матрицу, где на диагоналях стоят "1" а все остальные элементы - "0". Задайте матрице размер 10.

И, кроме этого, САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА:

Введите дополнительную переменную n. В начале программы спросите у пользователя, каков будет размер матрицы. Все расчеты выполняйте относительно n, введенного пользователем. В этой матрице выведите такие картинки:

1. "Крестик"  
   
2. "Окошко"